101 vs 100 硬币问题

问题：甲有 101 个硬币，乙有 100 个硬币，两人同时随机撒在地面上。问：甲正面朝上的硬币数比乙多的概率是多少？

1/2

答案就是这么简洁优雅！

🎮 蒙特卡洛模拟验证

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正面朝上

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正面朝上

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甲赢 50%

乙赢 50%

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总轮数

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甲赢次数

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甲赢概率

这道题的精妙之处在于，不需要复杂计算，只需要巧妙的对称性分析：

第一步：拆分问题

把甲的 101 枚硬币拆成「前 100 枚」+「第 101 枚」。设：

X = 甲前100枚正面数，Y = 乙100枚正面数

第二步：对称性

X 和 Y 都是 100 枚硬币的正面数，完全对称，所以：

P(X > Y) = P(X < Y) = p

第三步：分类讨论

甲赢（正面数更多）的情况：

① X > Y（不管第101枚）
② X = Y 且第101枚是正面

第四步：计算

P(X>Y) + P(X → 2p + P(X=Y) = 1
→ p = (1 - P(X=Y)) / 2

P(甲赢) = p + P(X=Y) × 0.5
= (1 - P(X=Y))/2 + P(X=Y)/2
= 1/2

✨ 无论 P(X=Y) 是多少，最终答案都是 1/2，这就是对称性的魔力！