50%财富按钮悖论 - 该不该按？

问题：有一个按钮，按下后：
• 每次按下需支付 5元手续费
• 50% 概率：你的所有资产 ×9（翻9倍）
• 50% 概率：你的所有资产 ×0.1（只剩1/10）
• 资产 小于1元 时游戏结束

期望值 = 0.5×9 + 0.5×0.1 = 4.55，是正的！
理论上无限按下去，收益趋向正无穷。

那么，这个按钮应该按吗？

初始资产：元

当前资产

¥100,000

累计收益率

0%

0

按下次数

0

×9 次数

0

×0.1 次数

-

实际胜率

按下按钮开始...

🎲 蒙特卡洛模拟：1000个人各按100次

让我们模拟1000个人，每人初始10万，各按100次按钮，看看最终结果分布

💀 破产率（资产<1元）

-

📈 盈利率（资产>初始）

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💰 中位数资产

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🎯 平均资产

-

📐 数学分析：为什么期望值骗了你

1. 算术期望 vs 几何期望

算术期望（你算的那个）：E = 0.5×9 + 0.5×0.1 = 4.55
看起来很美好，每按一次"平均"能赚3.55倍！

2. 但财富是乘法累积的

按两次的可能结果：
• 9×9 = 81（概率25%）
• 9×0.1 = 0.9（概率25%）
• 0.1×9 = 0.9（概率25%）
• 0.1×0.1 = 0.01（概率25%）

几何期望 = (9 × 0.1)^0.5 = 0.9^0.5 ≈ 0.949

几何期望 < 1！这意味着每按一次，你的财富中位数都在缩水。

3. 凯利公式的判断

凯利公式用于判断一个赌局是否值得下注：

f* = (p × b - q) / b
其中 p=0.5（赢的概率），b=8（净赔率，赢了赚8倍），q=0.5（输的概率）
f* = (0.5 × 8 - 0.5) / 8 = 0.4375

凯利公式建议你只押 43.75% 的资产，而不是全部！
但这个按钮强制你押上100%，这就是问题所在。

4. 大数定律的陷阱

按 n 次后，期望赢 n/2 次，输 n/2 次。
最终资产 = 初始 × 9^(n/2) × 0.1^(n/2) = 初始 × 0.9^n

按10次：0.9^10 ≈ 0.35（剩35%）
按50次：0.9^50 ≈ 0.005（剩0.5%）
按100次：0.9^100 ≈ 0.00003（几乎归零）

🎯 结论：不该按

这个按钮是一个经典的「期望值陷阱」。

算术期望为正，但几何期望为负。
少数人会暴富（连续×9），但绝大多数人会破产。

平均值被极少数幸运儿拉高，但你大概率不是那个幸运儿。
这就是为什么赌场永远赢——他们玩的是大数定律，而你只有一条命。

「期望值为正」≠「应该参与」
当赌注是你的全部时，中位数比平均数更重要。

🌍 全球玩家统计

👥

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参与人数

💀

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破产人数

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💎

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资产过亿

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数据实时统计，看看你是幸运儿还是大多数

🔴 50%财富按钮悖论